曉查 發(fā)自 凹非寺
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abc猜想，數(shù)學(xué)界懸而未決的重要猜想，它的證明過程經(jīng)過8年的同行評(píng)審，終于要在期刊上發(fā)表了。
論文作者是日本的天才數(shù)學(xué)家望月新一，他33歲起就在京都大學(xué)擔(dān)任數(shù)學(xué)教授。
這一次望月新一的證明，全篇超過600頁，2012年就已發(fā)表，但足足經(jīng)過了8年的同行評(píng)審才通過，期間開過多次研討會(huì)——但依然有很多數(shù)學(xué)家無法理解。
據(jù)說，這篇論文全球只有十幾位數(shù)學(xué)家深入研究了證明過程。
許多數(shù)學(xué)家根本無法指出證明過程是對(duì)是錯(cuò)，因?yàn)楦究床欢?/p>
4月3日，日本京都大學(xué)召開了新聞發(fā)布會(huì)，宣布望月新一證明了它。包括Nature等在內(nèi)的權(quán)威科學(xué)傳媒組織，也這一重要進(jìn)展進(jìn)行了報(bào)道。
望月新一沒有出席昨天的發(fā)布會(huì)，他的另外兩位同事說，當(dāng)他知道自己的論文被接收，終于松了一口氣。多年來他從未在公眾場合露面。
但也不是沒有爭議，因?yàn)楫?dāng)初接收論文的期刊——日本的PRIMS，主編正是望月新一本人。
如果他的證明是正確的，那么將徹底改變數(shù)論。
同時(shí)也正因?yàn)槿绱?，才有了學(xué)界長達(dá)8年的爭論。
什么是abc猜想？abc猜想，最初由法國數(shù)學(xué)家約瑟夫·奧斯特萊和大衛(wèi)·馬瑟，在1985年提出。
并且一經(jīng)提出，abc猜想就成為數(shù)論領(lǐng)域的重要猜想之一。
只是和哥德巴赫猜想不同的是，向大眾說明abc猜想本身，就是一個(gè)復(fù)雜的過程。
大概如下：
有三個(gè)互質(zhì)正整數(shù)a、b、c，且c=a+b。所謂互質(zhì)，即它們的最大公約數(shù)是1。
因此8 + 9 = 17、5 + 16 = 21是符合條件的一組數(shù)字，但是6 + 9 = 15不是。
接著，我們把a(bǔ)bc的質(zhì)因數(shù)都提取出來，比如5、16、21的質(zhì)因數(shù)是5、2、3、7，這些質(zhì)因數(shù)相乘的結(jié)果為210，這個(gè)數(shù)比原來的三個(gè)數(shù)大得多。
又比如5、27、32，它們的質(zhì)因數(shù)是5、3、2，相乘結(jié)果為30，就比32小。
但第二種情形極為罕見。如果a和b都是小于100的數(shù)，我們能找到3044個(gè)符合條件的abc組合，其中只有7組滿足第二種情形。
而abc猜想要證明的，就是符合第二種情形的abc組合，只有有限個(gè)。
數(shù)學(xué)家們把a(bǔ)bc的質(zhì)因數(shù)乘積記作rad(abc)。用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言來表述就是：
費(fèi)馬大定理迎刃而解對(duì)于任何ε>0，只存在有限個(gè)互質(zhì)正整數(shù)的三元組(a, b, c)，c = a + b，使得：
c > rad(abc)1+ε
在人類短期內(nèi)沒法證明的abc猜想的情況下，科學(xué)家們想到了一個(gè)辦法，就是用計(jì)算機(jī)暴力解決，從小到大依次尋找符合abc猜想第二種情形的組合。
由此衍生出了一個(gè)分布式計(jì)算項(xiàng)目ABC@Home，就是通過全球各地的電腦窮舉計(jì)算符合abc猜想條件的三元數(shù)組。到2014年5月，人們已經(jīng)驗(yàn)證了2380萬個(gè)組合。
雖然有無限個(gè)例子或反例不能解決abc猜想，但是數(shù)學(xué)家希望借著該計(jì)劃發(fā)現(xiàn)的三元數(shù)組的分布模式。
之所以花費(fèi)大量計(jì)算資源去驗(yàn)證，是因?yàn)閍bc猜想在數(shù)學(xué)界有著重要意義。
和黎曼猜想一樣，很多數(shù)學(xué)領(lǐng)域后續(xù)的一些假設(shè)都依賴于前者。如果前者得到證明，后者就能輕易得出。
abc猜想的形式是a+b=c，著名的費(fèi)馬大定理形式是xn+yn=zn，二者非常相似，實(shí)際上二者也是強(qiáng)關(guān)聯(lián)。
如果abc猜想為真，那么費(fèi)馬大定理也可以輕松證明。
當(dāng)年費(fèi)馬一句“空白太小寫不下證明”，讓這一問題從1637年一直拖到1995年才得以解決。
而通過abc猜想來證明費(fèi)馬大定理的方法，真的能讓空白處就能寫下證明過程。
所以望月新一這一次，真的做到了嗎？
證明過程極具爭議望月新一發(fā)表了4篇論文來證明這一猜想，他把自己的研究成果叫做“宇宙際Teichmuller理論”。
按照望月新一的說法，該理論是用于橢圓曲線數(shù)字場的Teichmuller理論的算術(shù)版本，里面包含了像霍奇劇院（Hodge theaters）這樣奇怪的名字。
望月新一的理論并未得到學(xué)界廣泛認(rèn)同，600多頁的證明被來自德國波恩大學(xué)的兩位德高望重的數(shù)學(xué)家質(zhì)疑。
2018年菲爾茲獎(jiǎng)得主、馬普所數(shù)學(xué)研究所所長Peter Scholze說：“我認(rèn)為abc猜想仍未解決，任何人都有機(jī)會(huì)證明這一點(diǎn)?！?/p>
Scholze和他的同事Jakob Stix還曾發(fā)表一篇報(bào)告，指出在望月新一第三篇論文中“推論3.12”證明過程從根本上來說是有缺陷的。
而該推論對(duì)abc猜想的證明至關(guān)重要。
和其他部分引理的證明不同，3.12的證明尤其長，總共有9頁。Scholze認(rèn)為這9頁證明達(dá)到了根本無法遵循邏輯的地步。
Scholze在2018年到京都大學(xué)進(jìn)行了為期一周的訪問，與望月新一探討了這個(gè)問題，但雙方誰也說服不了誰。
Scholze說：“我認(rèn)為，除非望月新一進(jìn)行一些非常實(shí)質(zhì)性的修改，并更好地解釋這一關(guān)鍵步驟，否則不應(yīng)該將其視為證明。”
“我真的沒有看到一個(gè)使我們更接近abc猜想證明的關(guān)鍵思想”，Scholze還補(bǔ)充道。
望月新一的論文也引起了陶哲軒的關(guān)注，在當(dāng)年論文發(fā)表的第一時(shí)間，陶哲軒就在個(gè)人博客中談到的自己看法，并給出了另一種啟發(fā)式證明方法。
望月新一研究領(lǐng)域并不是陶哲軒的擅長，所以他之后一直回避對(duì)此評(píng)論。
這篇論文被期刊接收，并不是abc猜想的終點(diǎn)，也無法讓數(shù)學(xué)家站到望月新一這一邊，新的爭論還會(huì)繼續(xù)下去。
關(guān)于望月新一最后，簡單介紹一下這位日本天才數(shù)學(xué)家。
望月新一，1969年出生于日本東京都，5歲隨父母前往紐約，16歲就進(jìn)入普林斯頓大學(xué)，3年讀完本科，23歲獲得博士學(xué)位，33歲成為京都大學(xué)教授。
他現(xiàn)在是京都大學(xué)數(shù)理解析研究所教授。研究數(shù)論，包括算術(shù)幾何，霍奇理論和遠(yuǎn)阿貝爾幾何。
有意思的是，還有人曾猜測(cè)，望月新一就是比特幣發(fā)明人“中本聰”。
不過這種猜測(cè)的疑點(diǎn)很多，因?yàn)楸忍貛庞玫降拿艽a學(xué)不是望月新一的研究方向，而且他作為一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)家，對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的問題也不太關(guān)心。
最后的最后，如果你對(duì)望月新一這一abc猜想證明有其他看法，也歡迎告訴我們。
參考資料：
https://www.nature.com/articles/d41586-020-00998-2
https://www.quantamagazine.org/titans-of-mathematics-clash-over-epic-proof-of-abc-conjecture-20180920/
https://futurism.com/the-byte/mathematicians-shocked-paper-published
— 完 —
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