專題：《科學(xué)大家》聚焦新型冠狀病毒
實(shí)時(shí)疫情入口
出品：科技《科學(xué)大家》、高山大學(xué)
主講嘉賓：夏志宏 高山大學(xué)教務(wù)長(zhǎng)、校董，數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，美國(guó)西北大學(xué)終身教授
一、上帝玩擲骰子嗎？
科學(xué)界經(jīng)常會(huì)有這樣的討論：世界是確定的還是隨機(jī)的？
愛(ài)因斯坦曾說(shuō)過(guò)“上帝不跟宇宙玩擲骰子”。這句話是針對(duì)一些不太直觀的量子力學(xué)理論的質(zhì)疑。量子力學(xué)的基本思想與我們的直觀感覺(jué)是完全不一樣的，它認(rèn)為在亞原子世界中所有的東西都是隨機(jī)的，而且是真正的隨機(jī)。有兩個(gè)最著名的例子：“海森堡的測(cè)不準(zhǔn)原理”和“薛定諤的貓”。
“海森堡的測(cè)不準(zhǔn)原理”說(shuō)的是，如果要準(zhǔn)確測(cè)量原子的位置，那么就無(wú)法準(zhǔn)確測(cè)量它的動(dòng)量。這兩個(gè)量沒(méi)有辦法同時(shí)準(zhǔn)確測(cè)量。
“薛定諤的貓”是把微觀世界和量子世界的東西擴(kuò)展到宏觀世界所做的生動(dòng)描述。
薛定諤的貓思想實(shí)驗(yàn)，圖自維基百科
薛定諤的貓：在一個(gè)盒子中放一只貓，這只貓的生死取決于某個(gè)原子的衰變。假如該原子發(fā)生了衰變，盒子中的毒氣瓶就會(huì)被打破，釋放出毒氣，貓被毒死；假如該原子沒(méi)有發(fā)生衰變，毒氣瓶就不會(huì)被打破，貓不會(huì)被毒死。
原子的衰變是隨機(jī)的。盒子打開(kāi)之前，我們不知道貓是生還是死；盒子打開(kāi)之后，就可以看到貓是活著的還是死了。盒子打開(kāi)之前，一般人會(huì)認(rèn)為貓的生死狀態(tài)已經(jīng)確定，只是我們不知道而已。
但量子力學(xué)并不這么認(rèn)為。原子的衰變是以一定概率發(fā)生的，它有可能衰變也有可能不衰變。但在我們沒(méi)有打開(kāi)盒子之前，衰變的狀態(tài)，我們當(dāng)然是不知道。
但事實(shí)上不僅如此：并不是我們不知道，而是在我們觀測(cè)之前，它本身就處于一個(gè)疊加的狀態(tài)，衰變與否同時(shí)存在！
反映到宏觀世界，在我們打開(kāi)盒子之前，貓的“生”態(tài)和“死”態(tài)是疊加在一起的，“生”態(tài)和“死”態(tài)同時(shí)發(fā)生，在我們打開(kāi)盒子的那一刻，“生”態(tài)或“死”態(tài)才得以確定。
這可能非常難以想象，也是為什么愛(ài)因斯坦當(dāng)初會(huì)說(shuō)“上帝不跟宇宙玩擲骰子”這句話。從此以后對(duì)“世界是隨機(jī)的還是確定的”有了很多爭(zhēng)論。
二、隨機(jī)與確定的數(shù)學(xué)原理
從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，世界是隨機(jī)的還是確定的，其實(shí)都是一回事，看似對(duì)立實(shí)則統(tǒng)一。
第一，隨機(jī)系統(tǒng)并非隨意，而是具有很強(qiáng)的確定性。
例如，對(duì)于房間中的空氣，每一個(gè)空氣分子都是隨機(jī)的，但整體是一個(gè)非常確定的系統(tǒng)。
從數(shù)學(xué)上來(lái)講，由于分子數(shù)量極大，可以應(yīng)用大數(shù)定理和中心極限定理。這兩個(gè)定理保證了在大數(shù)據(jù)情況之下，世界其實(shí)是確定的。
再例如，量子計(jì)算機(jī)利用的就是像薛定諤的貓一樣的疊加態(tài)。它的每一個(gè)計(jì)算過(guò)程都是隨機(jī)的，得到的可以說(shuō)是一個(gè)隨機(jī)結(jié)果，但在大量重復(fù)計(jì)算以后，就變成一個(gè)非常確定的結(jié)果。
第二，確定的系統(tǒng)有很強(qiáng)的隨機(jī)性。
一個(gè)系統(tǒng)即使是完全由物理規(guī)律確定好的，它也會(huì)展現(xiàn)出非常隨機(jī)的一面。最著名的例子就是“蝴蝶效應(yīng)”。
對(duì)應(yīng)于確定系統(tǒng)中出現(xiàn)的隨機(jī)現(xiàn)象，數(shù)學(xué)中有一套理論叫做“混沌”，即動(dòng)力系統(tǒng)的混沌理論。
用古人的說(shuō)法，原因在于“差若毫厘，謬以千里”這樣的哲學(xué)思想。我們由此可以得到宏觀的世界也是測(cè)不準(zhǔn)的原理，盡管它是一個(gè)確定系統(tǒng)。同樣地，我們還可以確定將來(lái)是不可測(cè)的，其原因是混沌效應(yīng)的存在。
三、隨機(jī)系統(tǒng)的確定性
拋硬幣的學(xué)問(wèn)
我們先看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，拋硬幣。
一枚硬幣只有兩面，正面與反面。拋出一枚硬幣后出現(xiàn)的有可能是正面，也有可能是反面。一般情況下，出現(xiàn)正面和出現(xiàn)反面的概率是一樣的，都是50%，除非硬幣是特制的。
假設(shè)老師在概率課上布置作業(yè)，要求學(xué)生課后拋200次硬幣，并把結(jié)果記錄下來(lái)。下面是小張的記錄，其中0代表硬幣正面，1代表硬幣反面。
小張的這個(gè)數(shù)據(jù)記錄有非常大的可能性是在造假！也就是說(shuō)他根本沒(méi)有去拋硬幣，而是隨意寫出了這串?dāng)?shù)字。
為什么認(rèn)為小張是在做假呢？可以用最簡(jiǎn)單的辦法來(lái)分析：數(shù)一下這個(gè)記錄中0和1出現(xiàn)的次數(shù)。
我們發(fā)現(xiàn)這串?dāng)?shù)字有111個(gè)0，89個(gè)1，也就是說(shuō)小張200次拋硬幣的結(jié)果中有111次出現(xiàn)正面，89次出現(xiàn)反面。計(jì)算一下就會(huì)知道，這個(gè)結(jié)果的可信度非常低，低于1%，也就是說(shuō)可能性不大。
拋硬幣得到任何一串0、1數(shù)字都是有可能的，但是有些數(shù)字串出現(xiàn)的可能性非常小。
比如拋200次，每一次出現(xiàn)的都是0，或者每一次出現(xiàn)的都是1，這種情況基本上是不可能的。全是0或全是1的記錄基本上可以肯定是造假的。
我們?cè)倏纯葱±畹挠涗洠?/p>
幾乎可以肯定，小李也在造假。我們首先來(lái)數(shù)一下小李這個(gè)記錄中0和1的個(gè)數(shù)：101個(gè)0，99個(gè)1。好像一點(diǎn)問(wèn)題都沒(méi)有，正面和反面出現(xiàn)的概率差不多。但是，我們發(fā)現(xiàn)在這個(gè)記錄中，111出現(xiàn)了三次，而1111一次都沒(méi)有出現(xiàn)。
我們可以去計(jì)算一下，拋200次硬幣的過(guò)程中，出現(xiàn)111的次數(shù)小于或等于3的情形的可信度非常低，低于千分之一；一次1111都沒(méi)有出現(xiàn)的可信度低于百分之一。所以，幾乎可以肯定小李的記錄也是隨便做出來(lái)的，盡管他把0和1的概率設(shè)置得差不多，但其它方面還是存在問(wèn)題。
也許有人可以偽造一些記錄出來(lái)，把111和1111出現(xiàn)的頻率也進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。但是在200個(gè)數(shù)字里面，不僅是111和1111，我們還可以再看010出現(xiàn)的次數(shù)，或者101出現(xiàn)的次數(shù)，這些都是有規(guī)律的。
我們看到，假如不真正去拋硬幣而是想偽造出拋硬幣的結(jié)果，這其實(shí)是非常難的。最簡(jiǎn)單的方法就是老老實(shí)實(shí)地去拋硬幣，然后把結(jié)果寫出來(lái)，這個(gè)時(shí)候數(shù)據(jù)內(nèi)在的統(tǒng)一性才會(huì)體現(xiàn)出來(lái)，不然很難做到。
如何用大數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)論文造假
我們經(jīng)常會(huì)看到科學(xué)文獻(xiàn)里有一大堆的數(shù)據(jù)，其中不乏數(shù)據(jù)造假的情況。同樣的道理，造假的時(shí)候沒(méi)法做到數(shù)據(jù)的統(tǒng)一性。所以，我們可以用大數(shù)據(jù)來(lái)打假。
假如下面是一組從某實(shí)驗(yàn)室得來(lái)的數(shù)據(jù)，總共有40個(gè)數(shù)字：
我們可以發(fā)現(xiàn)：
（1）每個(gè)數(shù)都有7位數(shù)字，包括小數(shù)點(diǎn)后面的6位數(shù)字；最后一位數(shù)字為0的一個(gè)都沒(méi)有。
從心理上分析，造假者為了把小數(shù)點(diǎn)后的每個(gè)數(shù)字都寫出來(lái)，一般來(lái)說(shuō)他放的0就會(huì)非常少。而一組真正從實(shí)驗(yàn)中得來(lái)的數(shù)據(jù)，40個(gè)數(shù)字中一個(gè)0都沒(méi)有的概率是非常小的。
（2）倒數(shù)第二位沒(méi)有一個(gè)1。
這種情形出現(xiàn)的概率也是非常非常小的。一般的物理數(shù)據(jù)或任何通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)，精確的有效數(shù)字可能只有前面兩三位數(shù)字。
在一些比較精確的實(shí)驗(yàn)中，可能有效數(shù)字更多，而其他一些實(shí)驗(yàn)里的有效數(shù)字比較少。假如說(shuō)上面的例子中有效數(shù)字是三位，其后面幾位數(shù)字基本上是隨機(jī)的；即使有效數(shù)字是四位，那最后面的三位數(shù)字也是比較隨機(jī)的。
一般的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，最后幾位數(shù)字都是比較隨機(jī)的。所以，最后一位數(shù)不出現(xiàn)0的概率就非常小。我們可以用這種方法去找有可能做假的文章來(lái)進(jìn)行打假分析，且數(shù)據(jù)量越大，打假就越精確。
我們也可以用一些更簡(jiǎn)單的辦法。剛才這組數(shù)據(jù)總共才40個(gè)數(shù)字，這個(gè)數(shù)據(jù)量是比較小的，統(tǒng)計(jì)規(guī)律有時(shí)候不是那么明顯。但我們可以不按照0、1、2、3、4、5、6、7、8、9來(lái)分，而是分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類，這個(gè)時(shí)候它的統(tǒng)計(jì)規(guī)律會(huì)比較明顯?；蛘呖梢园褦?shù)據(jù)用二進(jìn)制表示，此時(shí)某一位置上數(shù)字的統(tǒng)計(jì)規(guī)律就會(huì)體現(xiàn)得非常強(qiáng)。
隨機(jī)系統(tǒng)的應(yīng)用
我們可以利用隨機(jī)系統(tǒng)的性質(zhì)做一些真正有意義的統(tǒng)計(jì)。
例如，某個(gè)防疫部門需要以問(wèn)卷形式統(tǒng)計(jì)某個(gè)傳染病的發(fā)病情況，比如性病、肺結(jié)核等。
但出于對(duì)自己隱私的保護(hù)，調(diào)查對(duì)象可能不愿意對(duì)問(wèn)卷上的有關(guān)問(wèn)題進(jìn)行如實(shí)回答，即使調(diào)查結(jié)果不會(huì)對(duì)外公布。
那該如何完成這項(xiàng)調(diào)查呢？
利用隨機(jī)的性質(zhì)，我們有一個(gè)簡(jiǎn)單的解決辦法。給每個(gè)調(diào)查對(duì)象一個(gè)骰子，在回答問(wèn)卷前自己投骰子，如果骰子出現(xiàn)的結(jié)果是1、2、3、4，就如實(shí)回答；如果骰子出現(xiàn)的結(jié)果是5、6，就一定要撒謊。
由于收問(wèn)卷者并不知道每個(gè)人投骰子的具體情況，他也就不知道問(wèn)卷上的答案是真是假。被調(diào)查者因此也可以毫無(wú)顧慮地回答問(wèn)卷。
此時(shí)，盡管每個(gè)人的回答都是隨機(jī)的，但按照前面講的原理，整體的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以非常精確。
假設(shè)3萬(wàn)份問(wèn)卷里有1.2萬(wàn)人回答有傳染病，那么真實(shí)情況下應(yīng)該是多少人？誤差會(huì)有多大？
我們不妨來(lái)計(jì)算一下：假如真實(shí)情況下有病的人數(shù)為x，假定精確地有2/3如實(shí)回答，1/3撒謊，則回答有病的人應(yīng)該是：
x?2/3+(30000-x)?1/3=12000
解這個(gè)方程可以得到x=6000。
由于每一次投骰子是一個(gè)隨機(jī)的過(guò)程，所以有病的人數(shù)不一定是精確的6000人。假如置信區(qū)間放在95%，那么我們算出，這個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)果的誤差上下不超過(guò)139人，即真正有病的人數(shù)范圍為6000±139；把置信區(qū)間放大到99%，最大的可能的誤差也就是200人左右，所以統(tǒng)計(jì)結(jié)果還是相當(dāng)可信的。
大數(shù)定理與中心極限定理
從上面的例子我們可以看出，隨機(jī)系統(tǒng)中存在的確定性比想象的要強(qiáng)得多。在物質(zhì)世界中，每個(gè)原子、分子都有很大的不確定性，但是把大量的原子、分子放在一起，這種不確定性就會(huì)消失，展示出非常強(qiáng)的確定性。
比如說(shuō)拋100萬(wàn)次硬幣，在置信度為0.26%（即±3δ）的情況下，正反面出現(xiàn)次數(shù)的平均值誤差不會(huì)超過(guò)0.015。
有一些數(shù)學(xué)理論揭示了隨機(jī)系統(tǒng)的一些非常好的內(nèi)在規(guī)律，而其中最好的也是最簡(jiǎn)單的一個(gè)是大數(shù)定理。
大數(shù)定理告訴我們，一個(gè)實(shí)驗(yàn)重復(fù)次數(shù)多了，或者數(shù)據(jù)量大了以后，數(shù)據(jù)的平均值將會(huì)越來(lái)越接近數(shù)據(jù)的期望值。
中心極限定理是比大數(shù)定理更加精確的一個(gè)數(shù)學(xué)理論。它在形式上比大數(shù)定理要稍微復(fù)雜一點(diǎn)，但其實(shí)也很簡(jiǎn)單。
我們?nèi)匀豢紤]拋硬幣的例子。假設(shè)正反面出現(xiàn)的概率各是50%，正面記錄為0，反面記錄為1。
扔硬幣概率分布1
扔第1次，記錄為0的概率是50%，為1的概率也是50%；[見(jiàn)圖（1）]
扔第2次，記錄為0的概率是50%，為1的概率是50%；對(duì)前兩次結(jié)果取平均，平均值為0的概率是25%，為1的概率是25%，另外還有50% 的概率為 0.5。[見(jiàn)圖（2）]
扔第3次，對(duì)三次結(jié)果取平均，平均值為0（即記錄為000）或平均值為1（即記錄為111）的概率都很小。[見(jiàn)圖（3）]
……
扔100次取平均，平均值的分布是中間突出，兩邊特別小，一百次全是0或全是1都基本上不可能。[見(jiàn)圖（4）]
扔硬幣概率分布2
如果我們換一個(gè)重量分布不均的硬幣（一頭重一頭輕），其正反面出現(xiàn)的概率是不一樣的。有趣的是，用這個(gè)非均勻硬幣拋100次所得平均值的概率分布圖形與之前拋均勻硬幣100次所得到的概率分布圖形在形狀上幾乎是一樣的[圖（4）與圖（8）]，都很像教堂里的鐘。
中心極限定理是說(shuō)，不管原來(lái)的概率分布是怎么樣的，只要滿足一些基本的性質(zhì)要求，一次次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，最后的平均值都呈現(xiàn)出鐘形的分布。
四、確定系統(tǒng)的隨機(jī)性
與隨機(jī)系統(tǒng)相對(duì)應(yīng)的是確定系統(tǒng)。一個(gè)確定系統(tǒng)的“確定性”并不是絕對(duì)的，有很多時(shí)候其實(shí)是不可測(cè)的。
故事：棋盤上的麥粒
棋盤上的麥粒
傳說(shuō)一位印度的數(shù)學(xué)家發(fā)明了國(guó)際象棋，皇帝知道后很高興，希望可以獎(jiǎng)賞數(shù)學(xué)家。數(shù)學(xué)家說(shuō)：“我要的不多，你在我棋盤的第1格放1顆麥子，第2格放2顆，第3格放4顆，第4格放8顆……用這種方式把棋盤放滿了，我就滿意了?！?/p>
皇帝一聽(tīng)，覺(jué)得數(shù)學(xué)家不是很貪婪，就要幾顆麥子而已。但他沒(méi)有想到的是，他得有多少麥子才能滿足數(shù)學(xué)家的要求。我們可以簡(jiǎn)單算一下麥子的顆數(shù)：
最后得到的是一個(gè)非常大的數(shù)字。可以簡(jiǎn)單換算一下，這么多顆麥子大概有140萬(wàn)億升，約為去年全世界麥子產(chǎn)量的400倍。相當(dāng)于將2000年以來(lái)全世界麥子的總產(chǎn)量放在棋盤上，才差不多滿足數(shù)學(xué)家的要求。
這個(gè)例子說(shuō)明，幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)得特別快。開(kāi)始看上去微不足道，但每一次增加的量大于以前所有量的總和。即使幾何級(jí)數(shù)以7%的增速（比如我國(guó)的GDP），大概10年就會(huì)加倍。如果保持7%的增速，每十年的產(chǎn)值將會(huì)大于歷史產(chǎn)值總和！
將來(lái)不可預(yù)測(cè)的混沌系統(tǒng)
假設(shè)一個(gè)封閉盒子里面裝滿了氣體。我們可以數(shù)學(xué)證明氣體分子在盒子里運(yùn)動(dòng)具有這樣的性質(zhì)：某一個(gè)氣體分子的運(yùn)動(dòng)可能因?yàn)槟承┰虍a(chǎn)生一個(gè)小的偏差，這個(gè)小的偏差將可能以指數(shù)形式增加，也就是每隔一段時(shí)間偏差會(huì)加倍。
由于氣體分子運(yùn)動(dòng)比較快，它運(yùn)動(dòng)軌跡的誤差可能不到一兩秒鐘就會(huì)加倍。假如是1秒鐘加倍，64秒鐘之后，這個(gè)誤差就有可能超過(guò)“棋盤上的麥粒”那個(gè)故事中的天文數(shù)字。但是好在盒子對(duì)它的運(yùn)動(dòng)是有限制的，總體誤差限制在盒子的范圍之內(nèi)。
從數(shù)學(xué)理論上來(lái)講，假如系統(tǒng)存在這種機(jī)制，即在微觀狀態(tài)下誤差呈指數(shù)增長(zhǎng)，那么其影響的效果就要“差若毫厘，謬以千里”。指數(shù)增長(zhǎng)是一種非常可怕的增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)。存在這種增長(zhǎng)機(jī)制的系統(tǒng)稱為一個(gè)混沌動(dòng)力系統(tǒng)。
在微觀狀態(tài)下，混沌動(dòng)力系統(tǒng)的誤差將按指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)。在宏觀狀態(tài)下，我們不知道它會(huì)怎么樣，可能會(huì)因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)的折返或者有其他宏觀上的物理限制，使誤差不會(huì)無(wú)止境地增長(zhǎng)下去。
混沌的狀態(tài)一般還可以量化，量化的結(jié)果在數(shù)學(xué)里面就是Lyapunov指數(shù)。Lyapunov指數(shù)是告訴我們微小誤差經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間加倍。假如每隔單位時(shí)間加倍的話，這個(gè)指數(shù)為ln(2)。假如每隔T單位時(shí)間加倍，這個(gè)指數(shù)就是ln(2)/T。
一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)的不同區(qū)域可能有不同的壓縮指數(shù)。對(duì)于混沌的系統(tǒng)，結(jié)論是它的將來(lái)是不可預(yù)測(cè)的。最典型的“將來(lái)不可預(yù)測(cè)”的例子是蝴蝶效應(yīng)。蝴蝶效應(yīng)是氣象系統(tǒng)的例子，指的是蝴蝶翅膀的微小抖動(dòng)可以在幾周的時(shí)間內(nèi)引起全球性的氣候變化。氣象系統(tǒng)是非常復(fù)雜的混沌系統(tǒng)。
Lorenz 吸引子
Lorenz（洛倫茨）是麻省理工學(xué)院（MIT）的教授，他專門研究氣象。氣象方程是非常復(fù)雜的偏微分方程組，其解的結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，有眾多的未解問(wèn)題。未來(lái)研究氣象方程，Lorenz將其簡(jiǎn)化為一組三維空間的常微分方程：
這個(gè)常微分方程里有三個(gè)參數(shù)δ、β和ρ，它看起來(lái)是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的三維方程，但它有兩個(gè)非線性項(xiàng)。一般來(lái)說(shuō)，只要有非線性項(xiàng)的存在，基本上就不太可能用理論上的公式來(lái)精確求解，獲取具體軌道，唯一的辦法是采用數(shù)值計(jì)算。
當(dāng)δ=10、β=8/3和ρ=28時(shí)，數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)方程解的軌道呈現(xiàn)出下面的奇怪現(xiàn)象：
奇異吸引子
無(wú)論從哪里出發(fā)，所有軌道最終都會(huì)跑向以上這個(gè)圖形，在數(shù)學(xué)上被稱為一個(gè)奇異吸引子。
也就是說(shuō)對(duì)于上面的三維方程，從幾乎所有的初始點(diǎn)出發(fā)，跟蹤該點(diǎn)的軌道就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它在做一種非常類似的、看似簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡最終都會(huì)畫(huà)出如上奇異吸引子的形狀。
這個(gè)形狀大致可分為兩個(gè)部分，暫且定為左邊和右邊。但對(duì)每一根軌道的每一個(gè)時(shí)刻，運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)在左邊還是右邊是非常隨機(jī)的，看上去毫無(wú)章法。
在吸引子上任意選取一點(diǎn)，它的軌道往往在左邊走若干圈后，再到右邊走若干圈，然后再回到左邊走若干圈，如此往返，以至無(wú)窮。
每一次在每一邊走的圈數(shù)由初始點(diǎn)決定，類似于蝴蝶效應(yīng)，稍微變動(dòng)一下初始點(diǎn)位置，但一定時(shí)間以后就會(huì)出現(xiàn)很大差異，將來(lái)出現(xiàn)在左邊和右邊的次數(shù)就與原來(lái)完全不一樣。也就是說(shuō)，長(zhǎng)時(shí)間以后，出現(xiàn)在左邊或右邊變成完全隨機(jī)。
Lorenz系統(tǒng)是一個(gè)混沌系統(tǒng)。它是一個(gè)確定性的動(dòng)力系統(tǒng)，因?yàn)樗倪\(yùn)動(dòng)完全由一組常微分方程確定；但是它具有不可測(cè)性，即我們沒(méi)有任何辦法去精確地知道一個(gè)點(diǎn)經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)動(dòng)后的位置。只要時(shí)間長(zhǎng)了，一個(gè)非常小的誤差都會(huì)給最終測(cè)量帶來(lái)非常大的、不可接受的誤差。
五、復(fù)雜度、信息量和熵
如果把Lorenz系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌道按出現(xiàn)在左邊或右邊分別標(biāo)記為0或1，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)于這樣一個(gè)確定的動(dòng)力系統(tǒng)，它的運(yùn)動(dòng)軌道也與前面一串拋硬幣的實(shí)驗(yàn)結(jié)果一樣，可以得到一串由0和1組成的數(shù)字序列。在信息學(xué)領(lǐng)域，一串摩爾斯密碼也給出了一串由0和1組成的序列。
Lorenz系統(tǒng)、拋硬幣實(shí)驗(yàn)、摩爾斯密碼，這三個(gè)例子分別代表了確定系統(tǒng)、隨機(jī)系統(tǒng)和信息傳播系統(tǒng)。而從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，它們是一模一樣的，沒(méi)有任何區(qū)別。
一根軌道、一串拋硬幣實(shí)驗(yàn)和一串摩爾斯密碼帶來(lái)的都是一串0或1的字符。所以，這三個(gè)系統(tǒng)在本質(zhì)上不存在所謂的隨機(jī)和確定的嚴(yán)格區(qū)分，而且它們的很多性質(zhì)可以用同一種方法去研究，比如我可以研究不同系統(tǒng)的復(fù)雜性。
熵的概念是度量動(dòng)力系統(tǒng)復(fù)雜性的一種方式，熵越大表示系統(tǒng)越復(fù)雜。但在概率論和信息學(xué)里同樣的概念，或者同樣的量，有不同的意義和應(yīng)用。
熵在概率學(xué)或信息論里代表的是信息量，或者說(shuō)是信息量的期望值。熵越大則信息量越高。信息量在大數(shù)據(jù)分析里有重要的應(yīng)用。
熵在網(wǎng)絡(luò)或信息傳播學(xué)里代表的是網(wǎng)絡(luò)容量和傳播能力。熵越大則網(wǎng)絡(luò)容量越大。
綜上所述，表面上看這些系統(tǒng)以及相對(duì)應(yīng)的概念是完全不一樣的，有時(shí)甚至是相對(duì)立的，比如說(shuō)隨機(jī)和確定的系統(tǒng)，但數(shù)學(xué)把他們巧妙地統(tǒng)一起來(lái)了。
隨機(jī)？確定？這取決于你觀察的位置。
本文根據(jù)夏志宏教授2020年3月21日在高山大學(xué)和更新學(xué)堂聯(lián)合出品的“科學(xué)公益直播”的課程整理而成，經(jīng)老師審核后公開(kāi)發(fā)布。
推薦
《科學(xué)大家》欄目精彩文章匯總
《科學(xué)大家》專欄投稿郵箱：sciencetougao@sina.com 來(lái)稿請(qǐng)注明姓名、單位、職務(wù)
