1915年，愛(ài)因斯坦提出了廣義相對(duì)論。作為20世紀(jì)最偉大的科學(xué)理論之一，廣義相對(duì)論經(jīng)過(guò)時(shí)間的檢驗(yàn)，已經(jīng)成為現(xiàn)代物理學(xué)的重要基石。但鮮為人知的是，即使到了20世紀(jì)50年代，由于缺乏實(shí)驗(yàn)證據(jù)，對(duì)廣義相對(duì)論感興趣的人也并不多。因此，愛(ài)因斯坦試圖將廣義相對(duì)論推廣為新的理論。
正是在這樣的背景下，愛(ài)因斯坦為《科學(xué)美國(guó)人》寫(xiě)下了這篇文章。愛(ài)因斯坦在文中回顧了物理學(xué)的發(fā)展歷史、解釋了廣義相對(duì)論的基本思想，并介紹了如何通過(guò)非對(duì)稱的度量場(chǎng)來(lái)推廣廣義相對(duì)論的思想。
我近期發(fā)表了一些有關(guān)場(chǎng)論的數(shù)學(xué)研究的文章，于是《科學(xué)美國(guó)人》的編輯找我寫(xiě)一篇相關(guān)的文章。一些讀者可能會(huì)感到疑惑：我們尚在學(xué)校之時(shí)不就已經(jīng)把物理的基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)完了嗎？這個(gè)問(wèn)題的答案可以是肯定的也可以是否定的，因?yàn)樗Q于我們?nèi)绾卫斫膺@個(gè)問(wèn)題。確實(shí)，我們已經(jīng)熟知許多概念和定理，這些定理足夠使我們理解大多數(shù)事情，并將它們轉(zhuǎn)化成可以用數(shù)學(xué)方法處理的問(wèn)題。但在某種意義上，這些概念和定理甚至已經(jīng)發(fā)展到頭了，比如光的反射定律、經(jīng)典熱力學(xué)定理（建立在壓強(qiáng)、體積、溫度、熱、功的概念以及永動(dòng)機(jī)不存在的假設(shè)的基礎(chǔ)之上）。
古典原子論和牛頓力學(xué)
是什么促使我們?cè)诂F(xiàn)有理論的基礎(chǔ)上再去發(fā)展新的理論呢？為什么我們一開(kāi)始就要去創(chuàng)造理論呢？答案很簡(jiǎn)單：因?yàn)槲覀兿硎堋袄斫狻钡倪^(guò)程，即通過(guò)邏輯的過(guò)程把未知現(xiàn)象變成一些我們?cè)缫阎阑蝻@而易見(jiàn)的東西。當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)有無(wú)法解釋的新現(xiàn)象時(shí)，自然就需要新的理論。但是，這種建立新理論的動(dòng)機(jī)是外界強(qiáng)加的。
其實(shí)在我看來(lái)還有另外一種更難以言表卻同等重要的動(dòng)機(jī)，就是盡力去統(tǒng)一和簡(jiǎn)化各種物理理論中最本質(zhì)的東西，使其成為一個(gè)統(tǒng)一整體。
對(duì)很多人來(lái)說(shuō)，理解未知事物和對(duì)音樂(lè)的熱愛(ài)一樣是與生俱來(lái)的天賦。這種對(duì)未知事物的好奇在孩童時(shí)期普遍存在，但隨著年齡的增長(zhǎng)有可能慢慢丟失。但是，如果沒(méi)有這種熱愛(ài)，就不會(huì)有數(shù)學(xué)和自然科學(xué)。這種試圖去理解未知事物的癡迷會(huì)使人產(chǎn)生一種幻覺(jué)：我們可以通過(guò)絕對(duì)理性的思考，不依靠任何經(jīng)驗(yàn)就可以認(rèn)識(shí)客觀世界。我認(rèn)為，每一個(gè)真正的理論家都是某種被馴化了的形而上學(xué)的哲學(xué)家，不論他幻想自己是一個(gè)多么純粹的實(shí)證主義者。這些被馴化了的哲學(xué)家會(huì)認(rèn)為邏輯上簡(jiǎn)單即預(yù)示著結(jié)果是正確的。他們認(rèn)為不是所有邏輯上簡(jiǎn)單的東西都能夠在現(xiàn)實(shí)世界中找到對(duì)應(yīng)物，但是一切知識(shí)都可以建立在一個(gè)十分簡(jiǎn)單的抽象理論體系上。
古代原子論的興起是一個(gè)非常好的例子。古希臘哲學(xué)家留基（Leucippus）是如何得出這樣一個(gè)大膽的想法的呢？冰和水顯然是不同的東西，那么水結(jié)成冰后再融化成水，現(xiàn)在的水和原來(lái)的水是相同的東西嗎？留基伯對(duì)此感到疑惑并試圖尋找一種解釋。他最后得出結(jié)論：物質(zhì)世界應(yīng)該是由相同的微小粒子構(gòu)成的，在這種變化發(fā)生時(shí)，事物的本質(zhì)并沒(méi)有變化，只是這些粒子的空間排列發(fā)生了變化。
在西方漫長(zhǎng)的思想史中，留基伯的想法一直沒(méi)有被忘記。兩千年后，丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）想知道為什么氣體對(duì)容器壁施加有壓力。從牛頓力學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，這應(yīng)該用氣體各部分的相互排斥來(lái)解釋。但這個(gè)解釋看起來(lái)十分荒謬，因?yàn)樵谄渌麠l件都一樣的情況下，氣體壓強(qiáng)僅取決于氣體自身的溫度。這個(gè)解釋表明相互作用力也取決于溫度，這與牛頓力學(xué)體系的思想格格不入。
由于伯努利已經(jīng)理解了原子的概念，那么他必然會(huì)得出原子（或分子）與容器壁碰撞，從而產(chǎn)生壓力的結(jié)論。我們必須假設(shè)原子在運(yùn)動(dòng)，這樣才能解釋氣體溫度的變化與壓強(qiáng)的關(guān)系。
從力學(xué)上簡(jiǎn)單考慮，氣體壓力只取決于粒子的動(dòng)能和它們?cè)诳臻g中的密度。這本應(yīng)該能讓那個(gè)時(shí)代的物理學(xué)家得出結(jié)論：熱能是原子的無(wú)規(guī)則隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的體現(xiàn)。如果他們能認(rèn)真對(duì)待這一結(jié)果，那么就可以極大促進(jìn)熱力學(xué)理論的發(fā)展，特別是發(fā)現(xiàn)熱能和機(jī)械能相互轉(zhuǎn)化的規(guī)律。
這個(gè)例子意在說(shuō)明，理論思想（這里說(shuō)的是原子論）既不是脫離于經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生的，也不是通過(guò)純粹的邏輯程序從經(jīng)驗(yàn)中得出的，而是產(chǎn)生于創(chuàng)造性行為。一旦捕獲了一個(gè)理論觀點(diǎn)，你最好堅(jiān)持下去直到得出一個(gè)站得住腳的結(jié)論。
我覺(jué)得在對(duì)科學(xué)感興趣的讀者們面前詳細(xì)描述我最新的理論工作是不太合適的。因?yàn)橹挥型ㄟ^(guò)實(shí)驗(yàn)充分證實(shí)的理論才適于在讀者面前呈現(xiàn)，而我的理論沒(méi)有太多的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。我目前提出的新理論主要是將簡(jiǎn)單的前提與支持該理論的其他理論（純引力場(chǎng)的定律）的密切聯(lián)系呈現(xiàn)出來(lái)。
在牛頓力學(xué)體系中，物質(zhì)的理論描述所依據(jù)的基本理論模型是質(zhì)點(diǎn)或粒子，因此物質(zhì)被認(rèn)為是不連續(xù)的有必要將質(zhì)點(diǎn)間的相互作用視為“超距作用”。但由于超距作用概念似乎與日常經(jīng)驗(yàn)完全相反，與牛頓的同時(shí)代人——實(shí)際上包括牛頓本人——都認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)理論難以接受，這是很自然的。然而，由于牛頓力學(xué)系統(tǒng)近乎奇跡般的成功，后來(lái)幾代的物理學(xué)家開(kāi)始接受“超距作用”的想法。所有關(guān)于“超距作用”的疑問(wèn)被忽視了很長(zhǎng)時(shí)間。
場(chǎng)與電磁理論
19世紀(jì)下半葉，當(dāng)電動(dòng)力學(xué)定律為人所知時(shí)，人們發(fā)現(xiàn)這些定律不能融入到牛頓力學(xué)體系中去。這里我有一個(gè)有趣的想法：如果法拉第接受了正規(guī)的大學(xué)教育，他會(huì)發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)定律嗎？由于沒(méi)有受到傳統(tǒng)思維方式的束縛，他覺(jué)得引入“場(chǎng)”作為現(xiàn)實(shí)的獨(dú)立元素有助于協(xié)調(diào)各種電磁實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象。麥克斯韋完全理解了法拉第關(guān)于場(chǎng)的概念，并且有了一個(gè)根本性的發(fā)現(xiàn)：電動(dòng)力學(xué)定律可用電場(chǎng)和磁場(chǎng)的微分方程表達(dá)。這些方程表明了電磁波的存在，而且電磁波的性質(zhì)與光的性質(zhì)相一致。
在努力完成物理學(xué)大一統(tǒng)的過(guò)程中，把光學(xué)納入電磁學(xué)理論是最是代表性的偉大勝利之一。早在赫茲的實(shí)驗(yàn)工作之前，麥克斯韋就通過(guò)理論論證了這種統(tǒng)一。至少在電磁學(xué)領(lǐng)域中，這一新的見(jiàn)解使人們有可能摒棄超距作用這一假設(shè)；相互作用的場(chǎng)（intermediary field）成為了物體間電磁相互作用的唯一載體，而場(chǎng)的行為完全取決于由微分方程表征的連續(xù)過(guò)程。
這樣就產(chǎn)生了一個(gè)問(wèn)題：既然場(chǎng)可以存在于真空中，那么我們應(yīng)該把它想象成是一種“載體”的波動(dòng)，還是應(yīng)該認(rèn)為它是一種獨(dú)立的不可簡(jiǎn)化的存在？換言之，是否有一種攜帶場(chǎng)的“以太”（Ether）；當(dāng)以太攜帶光波時(shí)，它被認(rèn)為處于波動(dòng)狀態(tài)？
上述問(wèn)題有個(gè)很顯然的答案：既然人們接受了場(chǎng)的概念，那么最好不要再引入一個(gè)具有假設(shè)性質(zhì)的載體。然而，那些最先認(rèn)識(shí)到場(chǎng)的概念不可或缺的探路者們，仍然被機(jī)械論的思想傳統(tǒng)束縛著，無(wú)法接受這個(gè)簡(jiǎn)單的觀點(diǎn)。但在接下來(lái)的幾十年里，這種觀點(diǎn)不知不覺(jué)地占據(jù)了上風(fēng)。
“場(chǎng)”作為一個(gè)基本概念的引入，導(dǎo)致了理論整體上的不一致性。麥克斯韋理論雖然充分描述了帶電粒子相互作用時(shí)的行為，但它不是描述粒子本身性質(zhì)的理論。因此必須根據(jù)舊理論將帶電粒子視為質(zhì)點(diǎn)。而連續(xù)場(chǎng)的概念與空間中不連續(xù)的質(zhì)點(diǎn)的概念結(jié)合起來(lái)會(huì)顯得不自洽。微分方程要求所有要素在時(shí)間上和空間的所有點(diǎn)上都具有連續(xù)性。因此在場(chǎng)論中物質(zhì)粒子并不是作為基本概念存在的。也正是這個(gè)原因，即使不考慮萬(wàn)有引力，麥克斯韋的電動(dòng)力學(xué)也不能被看作是一個(gè)完整的理論。
相對(duì)論
如果空間坐標(biāo)和時(shí)間經(jīng)歷過(guò)一種特殊線性變換——洛倫茲變換，那么在洛倫茲變換下，真空麥克斯韋方程組保持不變，這被稱為洛倫茲變換的“群”性質(zhì)。
麥克斯韋方程組隱含著“洛倫茲群”，但洛倫茲群并不只適用于麥克斯韋方程組。洛倫茲群是獨(dú)立于麥克斯韋方程定義的一組線性變換，該變換保持光速不變。這些變換刻畫(huà)的是一個(gè)慣性系到另一個(gè)慣性系的變換，后者相對(duì)于前者做勻速直線運(yùn)動(dòng)。該變換群最突出的新特點(diǎn)是，它消除了空間中兩個(gè)事件的絕對(duì)同時(shí)性。在這種情況下，所有的物理方程都應(yīng)該是關(guān)于洛倫茲變換（狹義相對(duì)論）協(xié)變的。因此，麥克斯韋方程組導(dǎo)出了一個(gè)具有啟示性的原理，該原理的有效性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了方程組本身適用的范圍。
狹義相對(duì)論與牛頓力學(xué)的相同之處在于這兩種理論下的定律都只適用于某些特定的參考系，即慣性系。慣性系是一種處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的系統(tǒng)，其內(nèi)部處于“不受力”狀態(tài)的質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于這個(gè)參考系不會(huì)加速。然而如果沒(méi)有獨(dú)立的方法來(lái)辨別這個(gè)質(zhì)點(diǎn)是不是真的處于不受力狀態(tài)，這個(gè)慣性系的定義就是無(wú)效的。
如果把引力看作一個(gè)“場(chǎng)”，便可以更加深入地討論這個(gè)問(wèn)題。
設(shè)A是一個(gè)相對(duì)于“慣性系”Ⅰ做勻加速運(yùn)動(dòng)的參考系。一些質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于Ⅰ沒(méi)有加速度，而相對(duì)于A有加速度，且所有質(zhì)點(diǎn)的加速度大小和方向都相等。這些質(zhì)點(diǎn)的加速度好像是由一個(gè)引力場(chǎng)引起的，因?yàn)橐?chǎng)引起的加速度與物體自身的特性無(wú)關(guān)。我們沒(méi)有理由拒絕把這解釋為“真實(shí)”引力場(chǎng)的影響（等效原理）。這個(gè)解釋意味著即使A參考系相對(duì)于另一個(gè)慣性系統(tǒng)被加速，它仍是一個(gè)慣性系。（盡管沒(méi)有定義產(chǎn)生引力場(chǎng)的有質(zhì)量物體，但引入獨(dú)立引力場(chǎng)被認(rèn)為是合理的，而且這對(duì)于這里的討論是至關(guān)重要的。但對(duì)牛頓來(lái)說(shuō)，這樣的論點(diǎn)似乎沒(méi)有說(shuō)服力）。
這就是等效原理：為了在理論中解釋?xiě)T性質(zhì)量和引力質(zhì)量的相等，我們有必要引進(jìn)四個(gè)坐標(biāo)的非線性變換。也就是說(shuō)，洛倫茲變換群和因此而產(chǎn)生的一系列“可允許”的坐標(biāo)變換必須得到擴(kuò)展（從線性變換走向非線性變換）。
那么洛倫茲變換可以被拓展成哪些非線性坐標(biāo)變換呢？我們從數(shù)學(xué)上給出了一個(gè)基于高斯和黎曼研究的答案：合適的變換是所有坐標(biāo)的連續(xù)（解析）變換的集合。在這些變換中，唯一不變的是相鄰點(diǎn)的坐標(biāo)幾乎完全協(xié)同變換；坐標(biāo)系只表示空間中點(diǎn)的拓?fù)漤樞颍òㄋ乃木S特征）。表示自然規(guī)律的方程必須對(duì)所有坐標(biāo)的解析變換都是協(xié)變的。這就是廣義相對(duì)論原理。
剛才描述的過(guò)程克服了一個(gè)基礎(chǔ)力學(xué)的缺陷，這個(gè)缺陷其實(shí)早已經(jīng)被牛頓注意到，并且也被萊布尼茨批判過(guò)。這個(gè)缺陷在牛頓之后的兩個(gè)世紀(jì)后又被馬赫批判了，這個(gè)缺陷在于：慣性是抵抗加速度的，但抵抗的加速度是相對(duì)于什么參考系而言的呢？在經(jīng)典力學(xué)的框架內(nèi)，這個(gè)問(wèn)題的唯一的答案是：慣性抵抗的是相對(duì)于空間的加速度。這是空間的物理性質(zhì)：空間是物體的載體，但物體不作用于空間。這可能就是牛頓主張“空間是絕對(duì)的”的深層含義。但是這種想法使一些人感到不安，特別是萊布尼茨，他不認(rèn)為空間是獨(dú)立于物體而存在的，相反他認(rèn)為空間是“物體”的一種屬性（物理對(duì)象的接觸）。如果他的想法在當(dāng)時(shí)被證明是正確的，這對(duì)物理學(xué)來(lái)說(shuō)不會(huì)是一件好事，因?yàn)樵?7世紀(jì)缺乏必要的實(shí)驗(yàn)和理論基礎(chǔ)來(lái)支持他的觀點(diǎn)。
在廣義相對(duì)論中，獨(dú)立于物體的空間概念是不存在的?？臻g的物理實(shí)在是由一個(gè)場(chǎng)所代表，這個(gè)場(chǎng)由四個(gè)自變量（空間和時(shí)間的坐標(biāo)）的連續(xù)函數(shù)組成。
廣義相對(duì)論通過(guò)一個(gè)連續(xù)場(chǎng)來(lái)表示物理現(xiàn)實(shí)，所以粒子和質(zhì)點(diǎn)不能作為基本的概念，也不能作為運(yùn)動(dòng)的概念。質(zhì)點(diǎn)只能出現(xiàn)在空間的場(chǎng)強(qiáng)度或能量密度非常高的有限區(qū)域。
相對(duì)論不得不回答兩個(gè)問(wèn)題：這個(gè)場(chǎng)的數(shù)學(xué)特性是什么？什么方程適用于描述這個(gè)場(chǎng)？
對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題：從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，這個(gè)場(chǎng)的本質(zhì)特征是應(yīng)用坐標(biāo)變換下的分量變換。對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題：必須是滿足廣義相對(duì)論假設(shè)的條件下確定足夠范圍的場(chǎng)，這個(gè)要求能否被滿足取決于場(chǎng)的選擇。
試圖理解這種抽象經(jīng)驗(yàn)公式的相互關(guān)系在一開(kāi)始也許看起來(lái)有點(diǎn)無(wú)望。其實(shí)這個(gè)過(guò)程提出了一個(gè)問(wèn)題：在保留廣義相對(duì)論的同時(shí)，從這些最簡(jiǎn)單的物體（場(chǎng)）中能得到什么物理性質(zhì)？
每一個(gè)理論真是有推測(cè)性。當(dāng)一個(gè)理論的基礎(chǔ)概念接近經(jīng)驗(yàn)時(shí)（比如力、壓力、質(zhì)量的概念），它的推測(cè)性是不明顯的。然而，如果一個(gè)理論需要應(yīng)用復(fù)雜的邏輯過(guò)程從而得出結(jié)論，那么每個(gè)人都會(huì)看到這個(gè)理論中的推測(cè)性。在這種情況下，那些缺乏認(rèn)識(shí)論分析能力的人，會(huì)產(chǎn)生一種幾乎無(wú)法抵抗的厭惡感。
另一方面，我們必須承認(rèn)如果一個(gè)理論的概念和基本假設(shè)與經(jīng)驗(yàn)接近，那么它將有巨大的優(yōu)勢(shì)，并且我們更愿意相信這個(gè)理論是合理的。由于這些理論與經(jīng)驗(yàn)相近，我們更愿意接受這些理論，這樣會(huì)極大地減小徹底誤入歧途的危險(xiǎn)。然而隨著我們知識(shí)深度的增加，我們必須在探求物理理論的過(guò)程中放棄這些經(jīng)驗(yàn)主義。必須承認(rèn)，廣義相對(duì)論在放棄經(jīng)驗(yàn)性以獲得邏輯簡(jiǎn)單性方面比之前的物理理論走得更遠(yuǎn)。當(dāng)然，這也適用于萬(wàn)有引力定律，也符合試圖統(tǒng)一所有場(chǎng)的大一統(tǒng)理論。
阻礙相對(duì)論發(fā)展的最大內(nèi)在因素是問(wèn)題的雙重性，我們之前提出的兩個(gè)問(wèn)題已經(jīng)表明了這一點(diǎn)。因此理論發(fā)展了分為兩個(gè)步驟，并在時(shí)間上分開(kāi)。步驟中的第一步，即引力理論，是基于上面討論的等效原理，并做以下考慮：根據(jù)狹義相對(duì)論，光具有恒定的傳播速度。如果在時(shí)間X4，真空中的光線從一個(gè)由三維坐標(biāo)系X1、X2和X3標(biāo)定的一個(gè)點(diǎn)開(kāi)始傳播。以球面波的形式傳播并到達(dá)相鄰點(diǎn)X1+dX1，X2+dX2，X3+dX3，時(shí)間變?yōu)閄4+dX4，我們引入光速c并寫(xiě)出表達(dá)式：
該表達(dá)式表示四維中相鄰時(shí)空點(diǎn)之間的客觀關(guān)系，并且適用于所有慣性系，前提是坐標(biāo)變換服從狹義相對(duì)論。然而，如果根據(jù)廣義相對(duì)論，我們?cè)试S坐標(biāo)的連續(xù)變換，坐標(biāo)關(guān)系呈現(xiàn)出更為一般的形式：
∑gikdXidXk=0
gik是坐標(biāo)的某些函數(shù)，如果應(yīng)用連續(xù)坐標(biāo)變換，gik將以確定的方式變換。根據(jù)等效原理，gik函數(shù)描述了一個(gè)特殊的重力場(chǎng)：一個(gè)可以通過(guò)“無(wú)引力場(chǎng)”空間變換得到的場(chǎng)（等效原理是廣義相對(duì)論的第一個(gè)基本原理，是整個(gè)廣義相對(duì)論理論的核心。這個(gè)原理的基本含義是指重力場(chǎng)與以適當(dāng)加速度運(yùn)動(dòng)的參考系所產(chǎn)生的慣性力是等價(jià)的。換句話說(shuō)，在一個(gè)加速上升的封閉電梯里，你看不到外面的風(fēng)景，那么你感受到的慣性力與引力是不可區(qū)分的。）同時(shí)gik滿足一個(gè)特定的變換規(guī)則。從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，它們是有對(duì)稱性的張量的一部分，在所有變換中都存在，對(duì)稱性表述如下：
gik=gki
雖然我們不能指望這樣的對(duì)稱張量能描述最一般的引力場(chǎng)，但它能很好地描述特定情況下的“純引力場(chǎng)”。所以至少在特殊情況下，廣義相對(duì)論顯然要假設(shè)“場(chǎng)”是對(duì)稱張量場(chǎng)。
如此一來(lái)只剩下第二步了：對(duì)于一個(gè)對(duì)稱張量場(chǎng)，我們可以采用怎樣的協(xié)變場(chǎng)定律？
這個(gè)問(wèn)題在我們現(xiàn)今的時(shí)代不難回答，這是因?yàn)樵谇娴亩纫?guī)理論中已經(jīng)包含了最必要的數(shù)學(xué)概念。這些數(shù)學(xué)概念是一個(gè)世紀(jì)以前由高斯 發(fā)明的，并由黎曼拓展到一個(gè)任意維數(shù)的流形上。廣義相對(duì)論可以假設(shè)場(chǎng)gik的偏微分方程，而且微分不能低于二階，即它們必須至少包含gik的二階導(dǎo)數(shù)。假設(shè)場(chǎng)方程中沒(méi)有出現(xiàn)比二階導(dǎo)更高的項(xiàng)，那么該定律就在數(shù)學(xué)上被廣義相對(duì)論確定了。這個(gè)方程組可以被寫(xiě)成這種形式：
Rik=0
上式中，Rik是里奇張量。
讓這個(gè)Rik 以和gik相同的方式變換，它們都是對(duì)稱張量。
在把質(zhì)量表示為場(chǎng)的奇點(diǎn)的情況下，這些微分方程完美替代了牛頓的天體運(yùn)動(dòng)理論。這些微分方程涵蓋了力的定律和運(yùn)動(dòng)法則，而且在非慣性系時(shí)也適用。
事實(shí)是當(dāng)質(zhì)量以奇點(diǎn)的形式出現(xiàn)時(shí)，就已經(jīng)表明了那些質(zhì)量本身不能被對(duì)稱gik場(chǎng)，或著說(shuō)我們常說(shuō)的“引力場(chǎng)”所解釋。顯然，一個(gè)完備的相對(duì)性的場(chǎng)理論必須基于一個(gè)更復(fù)雜的性質(zhì)，而對(duì)對(duì)稱張量場(chǎng)進(jìn)行推廣。
圖片來(lái)源：Time Travel Research Center
廣義相對(duì)論的推廣
在推廣之前，以下兩個(gè)有關(guān)引力理論的基礎(chǔ)知識(shí)對(duì)于接下來(lái)的解釋是必不可少的。
第一個(gè)是廣義相對(duì)性原理，這個(gè)原理對(duì)理論可能性施加了極強(qiáng)的限制。若沒(méi)有這個(gè)限制性原則的話，即使你熟知狹義相對(duì)論原理，知道場(chǎng)必須用對(duì)稱張量描述，也不可能得到廣義相對(duì)論的引力方程。也就是說(shuō)，除非使用廣義相對(duì)性原理，否則哪怕你有再多的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，你也不可能得這個(gè)方程。這就是為什么我認(rèn)為所有試圖更加深入地了解基礎(chǔ)物理知識(shí)的嘗試似乎都注定要失敗，除非這些基本概念從一開(kāi)始就與廣義相對(duì)論自洽。無(wú)論我們的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)有多豐富，這種情況都使我們很難去尋找物理學(xué)的真諦，因此我們需要比大多數(shù)物理學(xué)家更大膽地運(yùn)用天馬行空的想象。我認(rèn)為“廣義相對(duì)論的啟發(fā)性意義僅限于物理的引力方面”這樣的觀點(diǎn)是不全面的，物理的很多方面可以用狹義相對(duì)論解釋，但狹義相對(duì)論需要與廣義相對(duì)論的理論框架相嵌合。雖然我們當(dāng)今對(duì)引力作用的了解雖然不夠充分，但是如果我們要對(duì)這一基本性質(zhì)進(jìn)行理論研究的話，廣義相對(duì)論是不可忽略的有力工具。且容我冒昧地問(wèn)一句：如果沒(méi)有了引力理論，物理會(huì)是什么樣？
第二，廣義相對(duì)論引力方程是關(guān)于對(duì)稱張量gik的10個(gè)微分方程。在廣義相對(duì)論的情況下，坐標(biāo)系存在自由選擇的可能性，這意味著在通解的10個(gè)函數(shù)或場(chǎng)的分量中，通過(guò)對(duì)坐標(biāo)系的適當(dāng)選擇，可以使4個(gè)函數(shù)具有規(guī)定的值。換句話說(shuō)，廣義相對(duì)性原理（坐標(biāo)系的任意選擇）意味著決定微分方程的函數(shù)個(gè)數(shù)不是10而是10-4=6個(gè)。對(duì)于這6個(gè)函數(shù)，只能假設(shè)存在6個(gè)獨(dú)立的微分方程。因此在10個(gè)微分方程中，只有6個(gè)是相互獨(dú)立的，其余的4個(gè)必須通過(guò)4種關(guān)系（恒等式）與那6個(gè)聯(lián)系起來(lái)。事實(shí)上也確是如此，在10個(gè)引力方程中有4個(gè)恒等式（畢安基恒等式），以確保它們的“兼容性”。
在場(chǎng)變量的數(shù)量等于微分方程數(shù)量的情況下，兼容性總是可以保證的。這符合引力方程的情況。
然而，10個(gè)微分方程不能完全被6個(gè)所代替。雖然方程組是“超定的”，但由于恒等式的存在，它的超定性不會(huì)影響它的兼容性，解的多樣性不會(huì)受到嚴(yán)格限制。
經(jīng)過(guò)這樣的準(zhǔn)備，現(xiàn)在就很容易理解研究的本質(zhì)，而不需要深入研究它的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)?，F(xiàn)在的難題是為所有的場(chǎng)建立相對(duì)論理論。解決這個(gè)問(wèn)題最重要的線索是已有的純引力場(chǎng)的特解。因此，我們所尋求的理論必須包含引力理論。我們的問(wèn)題是：什么是對(duì)稱張量場(chǎng)的自然推廣？
這個(gè)問(wèn)題不能單獨(dú)回答，只能與另一個(gè)問(wèn)題“這個(gè)領(lǐng)域的哪一種場(chǎng)將提供最自然的理論體系？”聯(lián)系起來(lái)回答。這個(gè)問(wèn)題的答案是對(duì)稱張量場(chǎng)必須被非對(duì)稱張量場(chǎng)所取代。這意味著必須放棄場(chǎng)的分量gik=gki的條件。在這種情況下，場(chǎng)有16個(gè)分量而不僅僅是10個(gè)分量。
建立非對(duì)稱張量場(chǎng)的相對(duì)論微分方程仍然是一項(xiàng)艱巨的任務(wù)。在試圖解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，人們遇到了在對(duì)稱場(chǎng)的情況下不會(huì)出現(xiàn)的困難。
廣義相對(duì)性原理不能完全確定場(chǎng)方程，主要是因?yàn)閳?chǎng)的對(duì)稱部分的變換一律不涉及反對(duì)稱的部分，反之亦然。也許這就是為什么以前幾乎沒(méi)有人嘗試過(guò)用這種方式對(duì)統(tǒng)一場(chǎng)進(jìn)行研究。在這個(gè)情景下，對(duì)稱和反對(duì)稱的部分都有作用，場(chǎng)的兩部分的結(jié)合才能被證明是一個(gè)自然的過(guò)程。
事實(shí)證明，這一要求確實(shí)可以自然地得到滿足。但是如果考慮廣義相對(duì)性原理，這個(gè)要求仍不足以唯一確定場(chǎng)方程。因?yàn)閳?chǎng)方程的方程組必須滿足的另一個(gè)條件：方程組必須兼容。
但是，包含反對(duì)稱張量的場(chǎng)方程有兩個(gè)，它們是通過(guò)兩種不同的方式出現(xiàn)的。變分原理為我們提供了兩個(gè)不同方程組（盡管他們只是稍微有點(diǎn)不同），讓我們用E1和E2來(lái)表示它們，但這兩個(gè)方程組都有著特定的缺陷。
實(shí)際上，正是由于方程組E1和E2的形式缺陷，這給我們指出了一條可行的道路。那就是存在第三個(gè)方程組E3，它沒(méi)有方程組E1和E2的形式缺陷，并且E3的每個(gè)解都表示為E1和E2解的組合。這表明E3可能是我們一直在尋找的方程組。那么，我們?yōu)槭裁床恢苯蛹僭O(shè)E3為方程組的解呢？這是因?yàn)镋1和E2的兼容性并不意味著E3具有兼容性，并且方程的數(shù)目超過(guò)了場(chǎng)分量數(shù)目，所以這樣假設(shè)是不合理的。
另外，我有一個(gè)考慮，是否存在一種更強(qiáng)大的不需要考慮兼容性問(wèn)題的方程組E3，是唯一能夠真正自然地概括萬(wàn)有引力的方程。
但是E3并不是一個(gè)與方程組E1和E2在同一意義上兼容的方程，E1和E2的兼容性是由足夠多的恒等式來(lái)保證的。使用經(jīng)典力學(xué)的語(yǔ)言，我們可以說(shuō)：在方程組E3的情況下，“初始條件”不能自由選擇。而真正重要的是這個(gè)問(wèn)題的答案：方程組的各種解是否必須如物理理論所需求的那樣廣泛？這個(gè)純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題至今仍未解決。
懷疑論者會(huì)說(shuō)：“從邏輯的角度來(lái)看，這個(gè)方程組可能是合理的，但這并不能證明它符合自然。”你是對(duì)的，親愛(ài)的懷疑論者。只有實(shí)踐才能檢驗(yàn)真理。然而，如果我們成功地提出了一個(gè)有意義的精確的問(wèn)題，我們就已經(jīng)取得了一些成就。盡管已經(jīng)有許多已知的依據(jù)和事實(shí)，但要想肯定或否定這個(gè)方程組并不容易。因?yàn)閺姆匠探M中推導(dǎo)出真實(shí)的物理可能需要付出艱苦的努力，也可能需要新的數(shù)學(xué)方法。
